匀速圆周运动加速度的推导

2022-07-12

人教版的物理必修二中跳过了对匀速圆周运动的向心力的推导，用精确的实验表明，向心力的大小可以表示为...或...这一套模糊的说辞蒙混过关了。这篇文章旨在帮助高中生理解公式的来历。

考虑一个物体在圆周上运动。我们记圆周运动的半径为\(r\)，线速率为\(v\)，角速度为\(\omega\)，\(0\)和\(t\)时刻的线速度为\(\vec{v_{i}}\)和\(\vec{v_{j}}\)，经过的角度为\(\alpha\)，易知\(\lvert \vec{v_{i}} \rvert = \lvert \vec{v_{j}} \rvert = v\)，且都与圆相切。

这一段时间中的平均加速度为

\[\vec{a} = \frac{\vec{v_{j}}-\vec{v_{i}}}{t}\]

当\(t\rightarrow 0\)时候\(\vec{a}\)为瞬时加速度。

可以看到在式子中我们要将两个向量相减。我们可以通过平移把两个向量尾尾相接便于计算。由切线的性质，可以发现平移后的\(\vec{v_{i}'}\)和\(\vec{v_{j}'}\)夹角\(\alpha_{1}=\alpha\)。

我们可以在图片中画出\(\overrightarrow{\triangle v}=\vec{v_{j}'}-\vec{v_{i}'}\)。不熟悉向量减法的可以用\(\overrightarrow{\triangle v}+\vec{v_{i}'}=\vec{v_{j}'}\)思考，即\(\vec{v_{i}'}\)加上一个向量等于\(\vec{v_{j}'}\)。

接下来一步至关重要。由于\(AB=AC\)，\(DE=DF\)，\(\alpha_{1}=\alpha\)，可以证明\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)。所以

\[\frac{\lvert \overrightarrow{\triangle v} \rvert}{\lvert \vec{v_{i}'} \rvert} = \frac {BC} {AB} = \frac {BC} {r}\]

由于我们在求解瞬时加速度，\(t\rightarrow 0\)时\(\alpha \rightarrow 0\)，\(BC \rightarrow \overset{\LARGE\frown}{BC}\)，所以

\[\frac{\lvert \overrightarrow{\triangle v} \rvert}{\lvert \vec{v_{i}'} \rvert} = \frac {\overset{\LARGE\frown}{BC}} {r} = \frac {\alpha r} {r} = \alpha\]

\[\lvert \overrightarrow{\triangle v} \rvert = \alpha \lvert \vec{v_{i}'} \rvert = \alpha v\]

将得到的\(\lvert \overrightarrow{\triangle v} \rvert\)代入\(\vec{a}\)，可以求出瞬时加速度的大小

\[\lvert \vec{a} \rvert = \lvert \frac{\vec{v_{j}}-\vec{v_{i}}}{t} \rvert = \frac{\lvert \overrightarrow{\triangle v} \rvert}{t} = \frac{\alpha v}{t}\]

由线速度和角速度的定义，可以得到

\[\lvert \vec{a} \rvert = v \omega\]

但这只是加速度的大小。观察以下图像：

易得当\(t \rightarrow 0\)时\(\alpha_{1} \rightarrow 0\)，此时\(\overrightarrow{\triangle v}\)与圆的切线垂直，即\(\vec{a}\)朝向圆心。